Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\ln (n))^{2}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\ln (n))^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é série numérica e vamos usar o teste da integral, que compara a série com a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Antes de tudo, note que em
temos
, então o termo
não está definido. Por isso a gente considera a soma a partir de
. Isso não altera a convergência, pois trocar um número finito de termos não muda o comportamento no infinito.
Passo 3
Definimos a função
Ela é positiva e, para
, decrescente. Pelo teste da integral, a série
converge se, e somente se, a integral
for finita.
Passo 4
Vamos calcular
Use a substituição
e os limites mudam de
até
. A integral vira
que é finita.
Passo 5
Como a integral imprópria converge, pelo teste da integral a série
também converge. Logo, a série original (tirando o termo
, que é problema isolado) é convergente.
Resposta
A série converge.