Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\ln (n))^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty 1n(ln(n))^2
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é série numérica e vamos usar o teste da integral, que compara a série com a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Antes de tudo, note que em n=1 temos ln(1)=0, então o termo tfrac1n(ln n)^2 não está definido. Por isso a gente considera a soma a partir de n=2. Isso não altera a convergência, pois trocar um número finito de termos não muda o comportamento no infinito.

Passo 3

Definimos a função
f(x) = 1x(ln x)^2, x>=2
Ela é positiva e, para x>e, decrescente. Pelo teste da integral, a série sumn=2^infty f(n) converge se, e somente se, a integral
integral2^infty f(x),dx
for finita.

Passo 4

Vamos calcular
integral2^inftydxx(ln x)^2
Use a substituição
u = ln x, du = dxx,
e os limites mudam de x=2mapsto u=ln2 até xtoinftymapsto utoinfty. A integral vira
integralln2^infty duu^2 = [-1u]ln2^infty = 0 -l(-1ln2r) = 1ln2,
que é finita.

Passo 5

Como a integral imprópria converge, pelo teste da integral a série
sumn=2^infty 1n(ln n)^2
também converge. Logo, a série original (tirando o termo n=1, que é problema isolado) é convergente.

Resposta

A série converge.

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