(a) O que é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, definir o que é uma série de potências; segundo, explicar o que é o raio de convergência de uma série de potências e como determiná-lo. Para isso vamos precisar do conceito de séries infinitas dependentes de uma variável e dos testes de convergência (razão e root test).
Passo 2
Uma série de potências é uma série infinita em que os termos envolvem potências de , onde é o centro da série. Em geral escrevemos
onde é uma sequência de coeficientes (números reais ou complexos). Essa série define uma função de sempre que convergir.
Passo 3
O raio de convergência é o número (possivelmente infinito) tal que a série converge para e diverge para . No limite pode haver convergência ou divergência, dependendo de cada caso.
Passo 4
Para encontrar usamos principalmente dois métodos:
Teste da razão (quando existe o limite):
Se L existir e for finito, então
R = 1L
Fórmula de Cauchy–Hadamard (root test geral):
R = 1limsupntoinftyraiz[n]lvert anrvert
Ambos os métodos dão o mesmo valor de R sempre que se aplicam.
Resposta
(1) Uma série de potências é uma série da forma
sumn=0^infty an,(x - c)^n,
em que os an são coeficientes e c é o centro.
(2a) O raio de convergência R é o valor tal que a série converge se lvert x - crvert < R e diverge se lvert x - crvert > R. Para encontrá-lo, usa-se o teste da razão
R=1limntoinftylvert an+1/anrvert
quando esse limite existe, ou a fórmula de Cauchy–Hadamard