Encontre as soluções e o intervalo sobre o qual as soluções estão definidas para as seguintes equações
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra encontrar as soluções de
e o intervalo onde elas existem. Matéria: equações diferenciais de 1ª ordem por separação de variáveis. Vamos precisar de:
e o intervalo onde elas existem. Matéria: equações diferenciais de 1ª ordem por separação de variáveis. Vamos precisar de:
- Reconhecer que dá pra escrever a EDO como produto de função só de
e só de . - Separar variáveis e integrar cada lado (vai entrar logaritmo e exponencial).
Passo 2
Como
a gente separa variáveis:
Isso é o truque da separação de variáveis: deixar tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro.
Passo 3
Agora integramos cada lado:
– Para a esquerda, faz a substituição
, logo
ou
.
– Para a direita,
Então ficamos com
Passo 4
Multiplica tudo por 2 e isola o log:
onde
. Exponenciando ambos os lados:
Chama
(constante real, pode ser positiva, negativa ou zero), e absorve o sinal na constante, dando
Passo 5
Perceba que se
a gente obtém a solução constante
.
Sobre o intervalo de definição: exponencial e logaritmo são definidos para todo , e a função do lado direito da EDO é contínua em
, então a solução vale em todo
.
Sobre o intervalo de definição: exponencial e logaritmo são definidos para todo
Resposta
Intervalo de definição:
.