Encontre as soluções e o intervalo sobre o qual as soluções estão definidas para as seguintes equações
y^prime=(3 x^2-1)(3+2 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra encontrar as soluções de
y'=(3x^2-1)(3+2y)
e o intervalo onde elas existem. Matéria: equações diferenciais de 1ª ordem por separação de variáveis. Vamos precisar de:
  • Reconhecer que dá pra escrever a EDO como produto de função só de x e só de y.
  • Separar variáveis e integrar cada lado (vai entrar logaritmo e exponencial).

Passo 2

Como
dydx=(3x^2-1)(3+2y),
a gente separa variáveis:
dy3+2y ;=;(3x^2-1),dx
Isso é o truque da separação de variáveis: deixar tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral dy3+2y ;=;integral(3x^2-1),dx
– Para a esquerda, faz a substituição u=3+2y, logo du=2,dy ou dy=tfrac12du.
integral dy3+2y =integral 1u,du2 =tfrac12integralduu =tfrac12ln|u| =tfrac12ln|3+2y|
– Para a direita,
integral(3x^2-1),dx =integral3x^2dx-integral1dx =x^3 - x
Então ficamos com
tfrac12ln|3+2y| = x^3 - x + C

Passo 4

Multiplica tudo por 2 e isola o log:
ln|3+2y| = 2x^3 - 2x + C',
onde C'=2C. Exponenciando ambos os lados:
|3+2y| = e^C',e^2x^3-2x
Chama e^C'=C (constante real, pode ser positiva, negativa ou zero), e absorve o sinal na constante, dando
3+2y = C,e^2x^3-2x Longrightarrow y = C,e^2x^3-2x-32

Passo 5

Perceba que se C=0 a gente obtém a solução constante y=-tfrac32.
Sobre o intervalo de definição: exponencial e logaritmo são definidos para todo xinR, e a função do lado direito da EDO é contínua em R^2, então a solução vale em todo xin(-infty,infty).

Resposta

boxedy(x) = C,e^2x^3 - 2x - 32, CinR
Intervalo de definição: xin(-infty,infty).

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