Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2^{n}}\right)
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2^{n}}\right)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é análise de séries numéricas, usando a linearidade da soma de séries, o comportamento da série harmônica e o teste da série geométrica.
Passo 2
Vamos usar a propriedade de linearidade de séries, que permite escrever
Passo 3
Analisando a primeira série:
Como
é a série harmônica, que diverge, multiplicar por
não muda esse fato. Logo
Passo 4
Analisando a segunda série:
é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
, cujo valor é
ou seja, esta série é convergente.
Passo 5
Como a soma de séries só converge se todas as parcelas convergirem e já vimos que
diverge, concluímos que a série original diverge.
Resposta
A série diverge.