Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftyl(12n+12^nr)
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é análise de séries numéricas, usando a linearidade da soma de séries, o comportamento da série harmônica e o teste da série geométrica.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de linearidade de séries, que permite escrever
sumn=1^inftyl(12n+12^nr) =sumn=1^infty12n+sumn=1^infty12^n

Passo 3

Analisando a primeira série:
sumn=1^infty12n =12sumn=1^infty1n
Como sumn=1^infty1n é a série harmônica, que diverge, multiplicar por tfrac12 não muda esse fato. Logo
sumn=1^infty12né diver>=nte é

Passo 4

Analisando a segunda série:
sumn=1^infty12^n
é uma série geométrica com primeiro termo a=tfrac12 e razão r=tfrac12, cujo valor é
sumn=1^infty12^n=tfrac121-tfrac12=1,
ou seja, esta série é convergente.

Passo 5

Como a soma de séries só converge se todas as parcelas convergirem e já vimos que
sum tfrac12n diverge, concluímos que a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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