Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa série aqui:
O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando o teste de comparação. Pra isso, vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste de comparação. Esse teste serve pra gente comparar os termos da série que estamos analisando com os termos de uma série conhecida. Se a série conhecida converge e os termos da nossa série são menores ou iguais aos da conhecida, então a nossa série também converge. O contrário vale para divergência.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma série de comparação adequada. Olhando para o denominador
, percebemos que
é o termo de maior grau. Então, podemos simplificar para facilitar a comparação:
Isso porque
, então o inverso será menor ou igual.
Passo 4
Sabemos que a série:
é uma série p com
. Séries p convergem quando
, então essa série converge.
Passo 5
Aplicando o teste de comparação: já que
para todo
e a série
converge, então a nossa série original:
também converge.
Resposta
A série
converge.