Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)
sum 1n^2+n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa série aqui:
sum 1n^2+n+1
O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando o teste de comparação. Pra isso, vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste de comparação. Esse teste serve pra gente comparar os termos da série que estamos analisando com os termos de uma série conhecida. Se a série conhecida converge e os termos da nossa série são menores ou iguais aos da conhecida, então a nossa série também converge. O contrário vale para divergência.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma série de comparação adequada. Olhando para o denominador n^2 + n + 1, percebemos que n^2 é o termo de maior grau. Então, podemos simplificar para facilitar a comparação:
1n^2+n+1 <= 1n^2
Isso porque n^2 + n + 1 >= n^2, então o inverso será menor ou igual.

Passo 4

Sabemos que a série:
sum 1n^2
é uma série p com p = 2. Séries p convergem quando p > 1, então essa série converge.

Passo 5

Aplicando o teste de comparação: já que 1n^2+n+1 <= 1n^2 para todo n e a série sum 1n^2 converge, então a nossa série original:
sum 1n^2+n+1
também converge.

Resposta

A série sum 1n^2+n+1 converge.

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