Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Matéria envolvida: Séries de potências e testes de convergência, especificamente o Teste da Razão.
O que vamos precisar: Aplicar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência e, depois, analisar os pontos finais para encontrar o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. A fórmula do Teste da Razão é:
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , a série diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 5 |x| cdot raizn+1raizn+2
Observando a fração raizn+1raizn+2 , conforme n cresce, essa fração tende a 1, porque o crescimento do numerador e do denominador é praticamente o mesmo.
Então:
L = 5 |x| cdot 1 = 5 |x|
Passo 5
Agora, aplicamos a condição do Teste da Razão L < 1 :
5 |x| < 1
Resolvendo para |x| :
|x| < 15
Isso significa que o raio de convergência R é:
R = 15
Passo 6
Com o raio de convergência em mãos, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 15 , ou seja:
-15 < x < 15
Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos extremos x = -15 e x = 15 .
Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se bn é decrescente e tende a zero, a série converge.
Aqui, bn = 1raizn+1 , que é decrescente e tende a zero. Então, a série converge em x = 15 .