Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: sumn=0^infty (-5)^n x^nraizn+1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=0^infty (-5)^n x^nraizn+1
Matéria envolvida: Séries de potências e testes de convergência, especificamente o Teste da Razão.
O que vamos precisar: Aplicar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência e, depois, analisar os pontos finais para encontrar o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , a série diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, os termos da série são:
an = (-5)^n x^nraizn+1

Passo 3

Vamos calcular | an+1an | :
| an+1an | = | (-5)^n+1 x^n+1raiz(n+1)+1 cdot raizn+1(-5)^n x^n |
Simplificando os termos:
= | (-5) cdot x cdot raizn+1raizn+2 |
= 5 |x| cdot raizn+1raizn+2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 5 |x| cdot raizn+1raizn+2
Observando a fração raizn+1raizn+2 , conforme n cresce, essa fração tende a 1, porque o crescimento do numerador e do denominador é praticamente o mesmo.
Então:
L = 5 |x| cdot 1 = 5 |x|

Passo 5

Agora, aplicamos a condição do Teste da Razão L < 1 :
5 |x| < 1
Resolvendo para |x| :
|x| < 15
Isso significa que o raio de convergência R é:
R = 15

Passo 6

Com o raio de convergência em mãos, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 15 , ou seja:
-15 < x < 15
Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos extremos x = -15 e x = 15 .

Passo 7

Vamos começar com x = 15 :
Substituindo na série:
sumn=0^infty (-5)^n (15)^nraizn+1 = sumn=0^infty (-1)^nraizn+1
Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se bn é decrescente e tende a zero, a série converge.
Aqui, bn = 1raizn+1 , que é decrescente e tende a zero. Então, a série converge em x = 15 .
Agora, para x = -15 :
sumn=0^infty (-5)^n (-15)^nraizn+1 = sumn=0^infty 1raizn+1
Essa é a série sum 1raizn+1 , que é uma série p com p = 12 . Sabemos que séries p convergem se p > 1 . Como 12 < 1 , a série diverge em x = -15 .

Resposta

O raio de convergência é R = 15 e o intervalo de convergência é -15 < x <= 15 .

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