Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty (-3)^n-14^n 1 / 7

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty(-3)^n-14^ncdot17
que é uma série geométrica. Precisamos verificar se ela converge (isto é, checar se a razão em valor absoluto é menor que 1) e, em caso afirmativo, calcular sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral un de forma a identificar a razão r.
Em primeiro lugar,
un=17,(-3)^n-14^n
Podemos separar um fator 1/4 para ver a potência de (-3/4):
un=17cdot14,gl(-34gr)^n-1 =128,gl(-34gr)^n-1

Passo 3

Da forma acima vemos que é uma série geométrica com
primeiro termo a = u1 = 128, razão r = -34 ã
Como
l|rr| = 34 < 1,
a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão r (com lvert rrvert<1), a soma é
S = a1 - r
Aqui,
S = tfrac1281 - l(-34r) = tfrac1281 + 34 = tfrac128tfrac74 = 128cdot47 = 4196 = 149

Resposta

A série é convergente e sua soma é 149.

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