Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Então, a gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Vamos usar princípios de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série:
. Para facilitar, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que vamos escrever
como uma soma de duas frações mais simples.
Passo 3
Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para
e
. Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a série original usando essas frações parciais:
Isso se torna:
Essa série é telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somarmos.
Passo 5
Vamos ver como os termos se cancelam:
Observamos que a partir de
em diante, os termos positivos e negativos se cancelam, restando apenas:
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.