Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1n(n+2) Resp 34

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir se a série sumn=1^infty 1n(n+2) converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Vamos usar princípios de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: 1n(n+2) . Para facilitar, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que vamos escrever 1n(n+2) como uma soma de duas frações mais simples.

Passo 3

Vamos supor que:
1n(n+2) = An + Bn+2
Multiplicando ambos os lados por n(n+2) para eliminar os denominadores:
1 = A(n+2) + Bn
Agora, vamos resolver para A e B . Escolhendo n = -2 :
1 = A(0) + B(-2) Rightarrow B = -12
Escolhendo n = 0 :
1 = A(2) + B(0) Rightarrow A = 12
Então, temos:
1n(n+2) = 1/2n - 1/2n+2

Passo 4

Agora, vamos reescrever a série original usando essas frações parciais:
sumn=1^infty ( 1/2n - 1/2n+2 )
Isso se torna:
12 sumn=1^infty ( 1n - 1n+2 )
Essa série é telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somarmos.

Passo 5

Vamos ver como os termos se cancelam:
12 ( (1 - 13) + (12 - 14) + (13 - 15) + dots )
Observamos que a partir de 13 em diante, os termos positivos e negativos se cancelam, restando apenas:
12 (1 + 12) = 12 times 32 = 34

Resposta

A série é convergente e sua soma é 34 .

Exercícios relacionados