Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o teste da integral para descobrir se a série
é convergente ou divergente. Para isso, precisamos lembrar como funciona o teste da integral e aplicá-lo a essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste é usado para séries que são compostas por termos positivos e decrescentes. Ele diz que a série
converge se a integral
também converge, onde
é uma função contínua, positiva e decrescente tal que
.
Passo 3
No nosso caso, a série é
. Vamos identificar a função
correspondente. Aqui,
, então podemos escrever
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a função
é contínua, positiva e decrescente para
.
- Contínua: A função
é contínua para todo . - Positiva:
é sempre positiva porque a exponencial nunca é zero ou negativa. - Decrescente: A derivada de
é , que é negativa para todo , indicando que a função é decrescente.
Então, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 5
Vamos calcular a integral
.
A integral de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o limite dessa integral quando
vai para infinito:
Sabemos que
tende a 0 quando
tende ao infinito, então:
Passo 7
Como a integral
converge para
, pelo teste da integral, a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente segundo o teste da integral.