Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty e^-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o teste da integral para descobrir se a série sumn=1^infty e^-n é convergente ou divergente. Para isso, precisamos lembrar como funciona o teste da integral e aplicá-lo a essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste é usado para séries que são compostas por termos positivos e decrescentes. Ele diz que a série sumn=1^infty an converge se a integral integral1^infty f(x) , dx também converge, onde f(x) é uma função contínua, positiva e decrescente tal que f(n) = an.

Passo 3

No nosso caso, a série é sumn=1^infty e^-n. Vamos identificar a função f(x) correspondente. Aqui, an = e^-n, então podemos escrever f(x) = e^-x.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a função f(x) = e^-x é contínua, positiva e decrescente para x >= 1.
  • Contínua: A função e^-x é contínua para todo x.
  • Positiva: e^-x é sempre positiva porque a exponencial nunca é zero ou negativa.
  • Decrescente: A derivada de f(x) é f'(x) = -e^-x, que é negativa para todo x, indicando que a função é decrescente.
Então, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 5

Vamos calcular a integral integral1^infty e^-x , dx.
A integral de e^-x em relação a x é:
integral e^-x , dx = -e^-x + C

Passo 6

Agora, vamos avaliar o limite dessa integral quando x vai para infinito:
integral1^infty e^-x , dx = limb to infty [ -e^-x ]1^b = limb to infty (-e^-b + e^-1)
Sabemos que e^-b tende a 0 quando b tende ao infinito, então:
limb to infty (-e^-b + e^-1) = 0 + e^-1 = e^-1

Passo 7

Como a integral integral1^infty e^-x , dx converge para e^-1, pelo teste da integral, a série sumn=1^infty e^-n também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty e^-n é convergente segundo o teste da integral.

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