Prove que se a sequência for convergente e , então a sequência também é convergente e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a sequência converge para um limite , então a sequência também converge e seu limite é .
Conteúdo: definição de convergência de sequência via critério – e propriedade da função valor absoluto. Vamos precisar da desigualdade triangular para valores absolutos.
Passo 2
Lembrando a definição de convergência: dizer que significa que, para todo , existe um tal que, para todo ,
Passo 3
Usamos a seguinte propriedade do valor absoluto, que decorre da desigualdade triangular:
Isso vale para quaisquer números reais an e L.
Passo 4
Prova da convergência de lvert anrvert. Seja varepsilon>0. Como anto L, existe N tal que, para todo n>N,
lvert an - Lrvert < varepsilon
Então, para n>N, aplica-se a desigualdade do Passo 3: