13 ^circ ) Questão.

Prove que se a sequência an for convergente e lim an=L, então a sequência |an| também é convergente e
lim |an|=|L|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a sequência an converge para um limite L, então a sequência lvert anrvert também converge e seu limite é lvert Lrvert.
Conteúdo: definição de convergência de sequência via critério varepsilon N e propriedade da função valor absoluto. Vamos precisar da desigualdade triangular para valores absolutos.

Passo 2

Lembrando a definição de convergência: dizer que limntoinftyan = L significa que, para todo varepsilon>0, existe um NinN tal que, para todo n>N,
lvert an - Lrvert < varepsilon

Passo 3

Usamos a seguinte propriedade do valor absoluto, que decorre da desigualdade triangular:
llvert,lvert anrvert - lvert Lrvertrrvert <= lvert an - Lrvert
Isso vale para quaisquer números reais an e L.

Passo 4

Prova da convergência de lvert anrvert. Seja varepsilon>0. Como anto L, existe N tal que, para todo n>N,
lvert an - Lrvert < varepsilon
Então, para n>N, aplica-se a desigualdade do Passo 3:
llvert,lvert anrvert - lvert Lrvertrrvert <= lvert an - Lrvert < varepsilon
Isso mostra, pela definição de convergência, que lvert anrvertto lvert Lrvert.

Resposta

Concluímos que, se limntoinftyan = L, então limntoinftylvert anrvert = lvert Lrvert.

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