Determine se a série é convergente ou divergente:
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n)}{n^{2}}\\
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^{2}}
é convergente ou divergente. Informações dadas/úteis que aparecem no enunciado:
O termo geral é \dfrac{\cos(n)}{n^{2}}.
Sabe-se que \cos(n) é uma função cujo valor para qualquer inteiro n satisfaz -1 \le \cos(n) \le 1.
Passo 2
Estratégia inicial (explicação didática): uma boa ideia é testar primeiro se a série converge absolutamente. Definição:
\text{Uma série } \sum a_n \text{ converge absolutamente se } \sum |a_n| \text{ converge.}
Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n também converge (isso é um fato padrão: convergência absoluta implica convergência). Vou aplicar esse critério aqui.
Passo 3
Vamos escrever a série das normas dos termos e usar comparação direta. O termo absoluto é
Pelo comentário do Passo 1 temos 0\le |\cos(n)|\le 1 para todo n. Portanto, para todo n,
\frac{|\cos(n)|}{n^{2}}\le \frac{1}{n^{2}}.
Passo 4
Agora uso o teste da comparação direta (descrição e motivo): se 0\le a_n\le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui podemos tomar a_n=\dfrac{|\cos(n)|}{n^{2}} e b_n=\dfrac{1}{n^{2}}.
Sabendo que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é convergente (é uma série p-série com p=2>1), pela comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos(n)|}{n^{2}}
converge.
Passo 5
Conclusão final com explicação didática: como a série das normas dos termos converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência, então a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^{2}}
é convergente (mais fortemente: convergente absolutamente).