Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^+infty nln (n+1)

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
sumn=1^infty nln(n+1)
Isso pertence ao conteúdo de séries numéricas e vamos precisar usar o teste da divergência (ou termo geral), que diz que, se limntoinftyanneq0, então a série sum an diverge.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
an = nln(n+1)
Para aplicar o teste da divergência, calculamos
limntoinfty an = limntoinfty nln(n+1)

Passo 3

Analisando o limite, o numerador cresce como n e o denominador como ln n. Sabemos que n cresce muito mais rápido que ln n, de modo que
limntoinfty nln(n+1) = +infty
Em particular, isso mostra que limntoinftyanneq0.

Passo 4

Como o termo geral não tende a zero, pelo teste da divergência a série
sumn=1^infty nln(n+1)
não pode convergir.

Resposta

A série é divergente.

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