Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty n^5+4 n^3+12 n^8+n^4+2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty an, an = n^5 + 4,n^3 + 12,n^8 + n^4 + 2
O conteúdo principal aqui é séries de termos positivos e, em particular, o teste de comparação ou o teste da comparação de limites com uma série p-série.

Passo 2

Para entender o comportamento de an quando ntoinfty, dividimos numerador e denominador por n^8:
an = n^5n^8 + 4,n^3n^8 + 1n^8 ;2 + 1n^4 + 2n^8; = 1n^3 + 4n^5 + 1n^8 2 + 1n^4 + 2n^8
Quando ntoinfty, os termos de ordem inferior vão a zero, logo
an sim 1n^32 = 12,n^3

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação de limites com a p-série sum 1/n^3. Calculamos
limntoinftyan1/n^3 = limntoinfty12,n^3 + o(1/n^3)1n^3 = 12
Como esse limite é finito e estritamente positivo, a série sum an converge ou diverge simultaneamente com sum 1/n^3.

Passo 4

Sabemos que sumn=1^infty 1n^3 é uma p-série com p=3>1, portanto converge. Pelo teste de comparação de limites, sum an também converge.

Resposta

A série converge.

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