Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sum 2^n+3^n4^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty2^n+3^n4^n
e, caso ela converja, calcular sua soma.
O conteúdo aqui é séries geométricas: usaremos o critério de convergência para sum r^n (converge se lvert rrvert<1) e a fórmula
sumn=1^inftyr^n=r1-r(lvert rrvert<1)

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral separando em duas potências:
2^n+3^n4^n =2^n4^n+3^n4^n =l(tfrac24r)^n+l(tfrac34r)^n =l(tfrac12r)^n+l(tfrac34r)^n

Passo 3

Aplicando o teste da série geométrica:
– Para r=tfrac12, temos lvert rrvert=tfrac12<1, logo sum(tfrac12)^n converge.
– Para r=tfrac34, temos lvert rrvert=tfrac34<1, logo sum(tfrac34)^n converge.
Como a soma da série original é a soma dessas duas, a série converge.

Passo 4

Usamos a fórmula da soma de cada série geométrica a partir de n=1:
sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n =tfrac121-tfrac12=1,
sumn=1^inftyl(tfrac34r)^n =tfrac341-tfrac34=3
Portanto, a soma da série original é
1+3=4

Resposta

A série converge e sua soma é 4.

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