Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, caso ela converja, calcular sua soma.
O conteúdo aqui é séries geométricas: usaremos o critério de convergência para (converge se
) e a fórmula
O conteúdo aqui é séries geométricas: usaremos o critério de convergência para
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral separando em duas potências:
Passo 3
Aplicando o teste da série geométrica:
– Para , temos
, logo
converge.
– Para , temos
, logo
converge.
Como a soma da série original é a soma dessas duas, a série converge.
– Para
– Para
Como a soma da série original é a soma dessas duas, a série converge.
Passo 4
Usamos a fórmula da soma de cada série geométrica a partir de
:
Portanto, a soma da série original é
Resposta
A série converge e sua soma é
.