Determine a solução geral das edos:
d yd x-2 x y=x y^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
dydx - 2x,y = x,y^3
O conteúdo aqui é a equação de Bernoulli com n=3. Vamos usar a substituição típica para transformar essa equação num problema linear de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão de Bernoulli:
dydx + P(x),y = Q(x),y^n,
onde
P(x) = -2x, Q(x) = x, n = 3

Passo 3

Na equação de Bernoulli, fazemos a substituição
z = y^,1-n = y^-2
Calculamos sua derivada em relação a x:
dzdx = -2,y^-3,dydx
Em seguida, vamos substituir tfracdydx da equação original.

Passo 4

Da equação original isolamos tfracdydx:
dydx = x,y^3 + 2x,y
Multiplicando por -2,y^-3 obtemos
dzdx = -2x -4x,y^-2 = -2x -4x,z
Ou seja, chegamos à equação linear
dzdx + 4x,z = -2x

Passo 5

Para resolver
dzdx + 4x,z = -2x
calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral 4x,dx = e^2x^2
Multiplicando a equação por mu(x):
ddxl(z,e^2x^2r) = -2x,e^2x^2
Integramos ambos os lados:
z,e^2x^2 = integral -2x,e^2x^2,dx + C = -tfrac12,e^2x^2 + C
Divide-se por e^2x^2 para obter
z = C,e^-2x^2 - tfrac12

Passo 6

Retornando à variável y, lembramos que z=y^-2. Logo
y^-2 = C,e^-2x^2 - tfrac12 Longrightarrow y(x) = pm 1raiz,C,e^-2x^2 - tfrac12,

Resposta

A solução geral da equação
dydx - 2x,y = x,y^3
é
boxedy(x) = pm 1raiz,C,e^-2x^2 - tfrac12,,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados