Determine a solução geral das edos:
y^prime+1-2 xx^2 y-1=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem linear não homogênea
y' + 1-2xx^2,y - 1 = 0
O conteúdo é resolução de equações lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão y' + P(x),y = Q(x). Aqui
P(x) = 1-2xx^2, Q(x) = 1

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x). Primeiro
integral P(x),dx = integral l(1x^2 - 2xr),dx = -1x - 2ln|x|
Logo
mu(x) = expl(-tfrac1x-2ln|x|r) = x^-2e^-tfrac1x

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
ddxl(mu(x)yr) = mu(x),Q(x) = x^-2e^-tfrac1x
Integramos ambos os lados:
mu(x),y = integral x^-2e^-tfrac1x,dx + C
Para calcular a integral, fazemos t=-tfrac1x, logo dt=tfrac1x^2dx, e
integral x^-2e^-tfrac1x,dx = integral e^t,dt = e^t = e^-tfrac1x

Passo 5

Temos então
x^-2e^-tfrac1x,y = e^-tfrac1x + C
Isolando y,
y = x^2e^tfrac1xl(e^-tfrac1x+Cr) = x^2 + C,x^2e^tfrac1x

Resposta

A solução geral é
boxedy(x)=x^2 + C,x^2e^1x, CinR

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