Determine a solução geral das edos:
y^prime-2 yx+1=(x+1)^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem
y' - 2x+1,y = (x+1)^3
Isso é uma equação linear do tipo
y' + P(x),y = Q(x),
com P(x) = -tfrac2x+1 e Q(x)=(x+1)^3. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) a partir de
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -2x+1,dxr)
Como integral tfrac1x+1,dx = ln|x+1|, temos
integral -2x+1,dx = -2ln|x+1| = lnl|(x+1)^-2r|
Portanto
mu(x) = (x+1)^-2

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por mu(x):
(x+1)^-2y' - 2,(x+1)^-3y = (x+1)^3,(x+1)^-2 = x+1
O lado esquerdo reconhece-se como derivada do produto mu(x),y, pois
ddxl[(x+1)^-2yr] = (x+1)^-2y' + l((x+1)^-2r)'y = (x+1)^-2y' -2,(x+1)^-3y

Passo 4

Então a equação vira
ddxl[(x+1)^-2yr] = x+1
Integramos ambos os lados em relação a x:
(x+1)^-2y = integral (x+1),dx = (x+1)^22 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por (x+1)^2:
y = (x+1)^2l((x+1)^22 + Cr) = (x+1)^42 + C,(x+1)^2

Resposta

y(x) = (x+1)^42 + C,(x+1)^2,
onde C é constante arbitrária.

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