Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sum 1epsilon^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty1epsilon^n
e decidir se ela converge ou diverge. Se for convergente, queremos também calcular sua soma. O conteúdo envolvido é o teste de convergência de séries geométricas e a fórmula para a soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Observamos que é uma série geométrica de primeiro termo
a1 = 1epsilon
e razão
r = 1epsilon,
Uma série geométrica sumn=1^inftya1r^,n-1 converge exatamente quando
lvert rrvert < 1
Aqui isso significa
llverttfrac1epsilonrrvert < 1 Long<=ftrightarrow lvert epsilonrvert > 1

Passo 3

Se lvert epsilonrvert > 1, a série converge e sua soma é dada por
sumn=1^inftya1r^,n-1 = a11 - r = 1epsilon1 - 1epsilon = 1epsilon - 1,

Passo 4

Portanto:
– Se lvert epsilonrvert > 1, a série converge e
sumn=1^infty1epsilon^n = 1epsilon - 1
– Se lvert epsilonrvert <= 1, a razão lvert1/epsilonrvert>=1 faz a série divergir.

Resposta

Converge somente para lvert epsilonrvert > 1, e nesse caso
sumn=1^infty1epsilon^n = 1epsilon - 1
Caso contrário ( lvert epsilonrvert <= 1), diverge.

Exercícios relacionados