Determine a solução geral das edos:
d sd t-s cotg t=1-(t+2) cotg t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
d sd t-scot t = 1 - (t+2)cot t
Isto é uma EDO linear de primeira ordem, da forma
d sd t + P(t)s = Q(t),
em que vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão identificando
P(t) = -cot t, Q(t) = 1 - (t+2)cot t

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = expl(integral P(t),dtr) = expl(-integral cot t,dtr) = expl(-ln|sin t|r) = 1sin t

Passo 4

Multiplicando a EDO por mu(t) obtemos
ddtl(s,mu(t)r) = ddtl(ssin tr) = 1 - (t+2)cot tsin t = csc t - (t+2),cos tsin^2 t

Passo 5

Note que
cos tsin^2 t = -ddtl(csc tr)
Assim o termo à direita fica
csc t - (t+2)l(-tfracddtcsc tr) = csc t + (t+2)ddtl(csc tr)

Passo 6

Integramos em t:
integral! csc t,dt + integral (t+2),d(csc t) = integral! csc t,dt + (t+2)csc t - integral! csc t,dt = (t+2)csc t + C
Logo
ssin t = (t+2)csc t + C

Passo 7

Multiplicando por sin t, resulta
s(t) = t + 2 + Csin t,
com C constante arbitrária.

Resposta

boxeds(t) = t + 2 + Csin t

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