Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
$ \sum_{n=1}^{\infty} 3^{-n} 8^{n+1} \quad$

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty3^-n8^n+1 converge ou diverge, e caso convergente calcular sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica, então precisamos identificar o termo geral e a razão.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral em forma de potência com base fixa, temos
3^-n8^n+1 = 8cdot l(8^ncdot3^-nr) = 8l(83r)^n

Passo 3

Isso mostra que é uma série geométrica de primeiro termo
a1 = 8l(83r)^1 = 643
e razão
r = 83

Passo 4

Sabemos que uma série geométrica de razão r converge somente se |r|<1. Aqui |r|=8/3>1, então os termos não tendem a zero e a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois a razão geométrica é r=8/3>1.

Exercícios relacionados