Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma.
1-12+14-18+cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
1-tfrac12+tfrac14-tfrac18+cdots
que é do tipo “soma de infinitos termos”. O conteúdo aqui é série geométrica e vamos precisar da condição de convergência para séries geométricas e da fórmula da soma quando convergirem.

Passo 2

Para ver que é geométrica, escrevemos o termo geral. Note que cada termo é obtido multiplicando o anterior por -tfrac12. Assim o primeiro termo é
a = 1
e a razão é
r = -tfrac12

Passo 3

A condição de convergência de uma série geométrica infinita sumk=0^inftya,r^k é lvert rrvert<1. Aqui temos
lvert rrvert = llvert -tfrac12rrvert = tfrac12 < 1,
logo a série converge.

Passo 4

Quando lvert rrvert<1, a soma da série geométrica é
S ;=;sumk=0^inftya,r^k ;=;a1-r
Substituindo a=1 e r=-tfrac12, vem
S = 11 - l(-tfrac12r) = 11 + tfrac12 = 1tfrac32 = tfrac23

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac23.

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