Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma.
23-29+227-281+cdots

Passo 1

O enunciado apresenta a série infinita
23 ;-;29;+;227;-;281;+;cdots
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries infinitas, mais especificamente a série geométrica infinita. Para resolver, vamos identificar o primeiro termo, a razão comum, verificar a condição de convergência e, se convergente, aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Reconhecemos que cada termo a partir do segundo é obtido multiplicando o termo anterior por -tfrac13. Logo, o primeiro termo é
a = 23
e a razão comum é
r = -13

Passo 3

Para uma série geométrica infinita com razão r, ela converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui
lvert rrvert = llvert -tfrac13rrvert = 13 < 1,
logo a série é convergente.

Passo 4

Como a série converge, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo a=tfrac23 e r=-tfrac13, temos
S = tfrac231 - l(-tfrac13r) = tfrac231 + tfrac13 = tfrac23tfrac43 = 23 cdot 34 = 12

Resposta

A série é convergente e sua soma é tfrac12.

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