Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 4^n+15^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty4^n+15^n.
O conteúdo aqui é séries geométricas: precisamos reconhecer a forma a,r^n, verificar a condição de convergência |r|<1 e, se convergente, aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Expressamos o termo geral em forma geométrica:
4^n+15^n =4cdot4^n5^n =4l(45r)^n
Logo este é uma série geométrica com a=4 e r=tfrac45.

Passo 3

Uma série geométrica sum a,r^n converge se e somente se lvert rrvert<1.
Aqui temos lvert rrvert=tfrac45<1, portanto a série converge.

Passo 4

Para lvert rrvert<1, a soma é
sumn=1^inftya,r^n = a;r1-r
Substituindo a=4 e r=tfrac45, obtemos
S =4cdottfrac451-tfrac45 =4cdot4/51/5 =4cdot4 =16

Resposta

A série converge e sua soma é 16.

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