Use o Teorema do Confronto para calcular o limite:
lim x 0(tan (x) cdot sen(1x))

Passo 1

A gente quer ver o que acontece com tan(x),sinl(1/xr) quando x chega em zero. O conteúdo aqui é o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), e vamos precisar saber que a função sin(cdot) fica entre -1 e 1, e também que tan(x) tende a zero conforme xto0.

Passo 2

A gente lembra da propriedade básica de seno:
-1 <= sinl(1/xr) <= 1

Passo 3

Agora, como sin(1/x) está entre -1 e 1, a gente pode dizer que o produto com tan(x) fica limitado em módulo por |tan(x)|. Ou seja,
-lverttan(x)rvert <= tan(x),sinl(1/xr) <= lverttan(x)rvert

Passo 4

Sabendo que limxto0tan(x)=0, temos também
limxto0lverttan(x)rvert = 0

Passo 5

Agora é aplicar o Teorema do Confronto: a função tan(x)sin(1/x) fica “espremida” entre -|tan(x)| e |tan(x)|, cujos limites são ambos zero. Então o limite buscado também é zero.

Resposta

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