Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty(-3pi)^n-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyl(-tfrac3pir)^n-1
que é uma série geométrica. Para resolver, vamos identificar o primeiro termo e a razão, verificar a condição de convergência lvert rrvert<1 e, se convergir, usar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

O primeiro termo da série é
a1 = l(-tfrac3pir)^0 = 1
e a razão é
r = -tfrac3pi

Passo 3

A condição de convergência de uma série geométrica é lvert rrvert<1. Aqui
lvert rrvert = llvert -tfrac3pirrvert = tfrac3pi
Como piapprox3,14, temos tfrac3pi<1, logo a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica convergente, a soma é
S = a11-r
Substituindo a1=1 e r=-tfrac3pi, vem
S = 11 - l(-tfrac3pir) = 11 + tfrac3pi = pipi + 3

Resposta

A série converge e sua soma é
pipi + 3.

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