Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 5(e3)^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 5l(e3r)^n
é convergente e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Reconhecemos que isso é uma série geométrica.

Passo 2

Numa série geométrica de primeira termo a1 e razão r, o termo geral é an=a1,r^,n-1. Aqui, a partir de
sumn=1^infty5l(tfrace3r)^n, vemos que
a1=5l(e3r) e r=e3

Passo 3

A condição de convergência de uma série geométrica é
lvert rrvert<1
Como
e3<1 (pois (eapprox2,718<3)),
a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é
S=a11-r
Substituindo a1=5l(tfrace3r) e r=tfrace3,
S =5l(tfrace3r)1-tfrace3 =5e/3(3-e)/3 =5e3-e

Resposta

A série converge e sua soma é 5e3-e.

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