Sabendo que |f(x)-2 x| <= x^2 para todo x próximo de 0, x neq 0 Determine lim x 0 f(x)x.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Temos a desigualdade |f(x)-2x| <= x^2 para todo x próximo de zero, xneq0. O objetivo é calcular limxto0f(x)x. O conteúdo principal aqui é limite de função e uso do Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto).

Passo 2

Manipulação da desigualdade: Como xneq0, podemos dividir ambos os lados de |f(x)-2x|<= x^2 por |x|>0. Assim, obtemos
|tfracf(x)x-2|;<=;|x|.

Passo 3

Aplicação do Teorema do Confronto: O lado direito |x| tende a zero quando xto0. Então |tfracf(x)x-2| fica preso até zero, o que implica que tfracf(x)x-2to0. Portanto,
limxto0f(x)x=2

Resposta

2

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