Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 5^n8^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 5^n8^n
converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Para isso, vamos reconhecer que é uma série geométrica e usar o teste e a fórmula de soma de séries geométricas.

Passo 2

Uma série geométrica tem a forma sumn=1^inftya1r^,n-1. No nosso caso podemos escrever
5^n8^n = l(58r)^n
de modo que o primeiro termo é
a1 = l(58r)^1 = 58
e a razão é
r = 58
A condição de convergência de uma série geométrica é lvert rrvert<1. Aqui lvert5/8rvert=5/8<1, logo a série converge.

Passo 3

Para uma série geométrica convergente vale
S = a11 - r
Substituindo a1=58 e r=58, temos
S = 581 - 58 = 5838 = 53

Resposta

A série converge e sua soma é 53.

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