Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=i}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+4}
e, se ela convergir, calcular sua soma.
O conteúdo envolvido é teste de séries do tipo p (para verificar convergência) e uma identidade clássica de análise complexa ou funções hiperbólicas para obter a soma fechada.

Passo 2

Para verificar convergência, comparamos com a série p
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que sabemos convergir porque p=2>1. Como
0<\frac{1}{n^{2}+4}\le\frac{1}{n^{2}},
pela comparação com termo a termo concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+4}
converge absolutamente.

Passo 3

A soma de séries da forma
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+a^{2}}
pode ser expressa pela identidade conhecida
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+a^{2}} =\frac{\pi}{2a}\,\coth\bigl(\pi a\bigr)\;-\;\frac{1}{2a^{2}}.
Essa fórmula decorre da expansão em frações parciais da função \pi\coth(\pi z) em torno de seus polos simples.

Passo 4

No nosso caso temos a=2. Substituindo na identidade, vem
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+4} =\frac{\pi}{2\cdot2}\,\coth(2\pi)\;-\;\frac{1}{2\cdot2^{2}} =\frac{\pi}{4}\,\coth(2\pi)\;-\;\frac{1}{8}.

Resposta

A série converge e sua soma é
\frac{\pi}{4}\,\coth(2\pi)\;-\;\frac{1}{8}.

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