Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se ela convergir, calcular sua soma.
O conteúdo envolvido é teste de séries do tipo (para verificar convergência) e uma identidade clássica de análise complexa ou funções hiperbólicas para obter a soma fechada.
O conteúdo envolvido é teste de séries do tipo
Passo 2
Para verificar convergência, comparamos com a série
que sabemos convergir porque
. Como
pela comparação com termo a termo concluímos que
converge absolutamente.
Passo 3
A soma de séries da forma
pode ser expressa pela identidade conhecida
Essa fórmula decorre da expansão em frações parciais da função
em torno de seus polos simples.
Passo 4
No nosso caso temos
. Substituindo na identidade, vem
Resposta
A série converge e sua soma é