Seja a_{n}=\frac{\angle n}{3 n+1}.
(a) Determine se \left\{a_{n}\right\} é convergente.
(b) Determine se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{\ln n}{3n + 1}
e pede:
(a) verificar se \{a_{n}\} converge;
(b) verificar se \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge.
Vamos usar cálculo de limite para a sequência e o teste de comparação (ou integral) para a série.

Passo 2

Para estudar a convergência de \{a_{n}\} calculamos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{3n+1} =\frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}.
Como sabemos ou aplicando a regra de L’Hôpital em \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0, concluímos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0,
logo \{a_{n}\} é convergente (para zero).

Passo 3

Para a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{3n+1} usamos comparação assintótica. Para n grande, 3n+1\le4n, então
a_{n}=\frac{\ln n}{3n+1}\ge\frac{\ln n}{4n}=\frac{1}{4}\,\frac{\ln n}{n}.
Sabemos que \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n} diverge, pois o integral correspondente
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx =\lim_{t\to\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{2}\Big|_{2}^{t}=\infty.
Pelo critério de comparação, \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} também diverge.

Resposta

(a) \{a_{n}\} converge e \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
(b) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} diverge.

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