Verifique que operatorname{Im} f \subset D_{g} e determine a composta h(x)=g(f(x)).
g(x)=\frac{2}{x-2} e f(x)=x^{2}+3

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=x^{2}+3 e g(x)=\dfrac{2}{x-2},
pede para mostrar que \operatorname{Im}f\subset D_{g} e, em seguida, encontrar a composta h(x)=g(f(x)).
Conteúdo: imagem de função, domínio de uma função e composição de funções.

Passo 2

Calcular a imagem de f. Como x^{2}\ge0 para todo x\in\mathbb{R}, temos
f(x)=x^{2}+3\ge3,
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\operatorname{Im}f = [3,\infty).

Passo 3

Determinar o domínio de g. A função
g(x)=\frac{2}{x-2}
não está definida em x=2, então
D_{g} = \mathbb{R}\setminus\{2\}.
Como \operatorname{Im}f = [3,\infty) e 2<3, nenhum valor de f atinge 2. Portanto
\operatorname{Im}f\subset D_{g}.

Passo 4

Construir a composta h(x)=g(f(x)). Substituindo f(x) em g,
h(x)=g\bigl(f(x)\bigr) =\frac{2}{\,f(x)-2\,} =\frac{2}{\bigl(x^{2}+3\bigr)-2} =\frac{2}{x^{2}+1}.
Observe que o denominador x^{2}+1 nunca zera para x\in\mathbb{R}, de modo que o domínio de h é todo \mathbb{R}.

Resposta

\operatorname{Im}f=[3,\infty)\subset D_{g}=\mathbb{R}\setminus\{2\}
e
h(x)=\frac{2}{x^{2}+1}.

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