Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 2^n+3^npi^n.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a série
sumn=1^infty 2^n+3^npi^n
é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também precisamos calcular a soma dela. Aqui, a gente vai usar o conteúdo de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão elevada a uma potência. Vamos precisar separar a série em partes mais simples para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas séries distintas. Isso porque a soma de duas séries convergentes também é convergente, e podemos calcular a soma de cada uma separadamente. Assim, temos:
sumn=1^infty 2^n+3^npi^n = sumn=1^infty ( 2^npi^n + 3^npi^n ) = sumn=1^infty ( (2pi)^n + (3pi)^n )

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente. Vamos começar com a primeira:
sumn=1^infty (2pi)^n
Essa é uma série geométrica onde a razão 2pi approx 0,6366 < 1 . Sabemos que uma s��rie geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. Como é aproximadamente 3,14, temos:
Portanto, essa primeira série é convergente.

Passo 4

Vamos agora para a segunda série:
sumn=1^infty (3pi)^n
Aqui, a razão 3pi approx 0,9549 < 1 . Novamente, verificamos o valor absoluto da razão:
Como , essa segunda série também é convergente.

Passo 5

Como as duas séries separadas são convergentes, podemos concluir que a série original é convergente. Agora, vamos calcular a soma de cada uma delas.
A soma de uma série geométrica que começa em S = r1 - r é dada por:
onde é a razão da série.

Passo 6

Calculando a soma da primeira série:
S1 = 2pi1 - 2pi = 2pipi - 2pi = 2pi - 2

Passo 7

Agora, calculando a soma da segunda série:
S2 = 3pi1 - 3pi = 3pipi - 3pi = 3pi - 3

Passo 8

Finalmente, somamos as duas somas obtidas para encontrar a soma total da série original:
S = S1 + S2 = 2pi - 2 + 3pi - 3

Resposta

A série é convergente e a sua soma é
S = 2pi - 2 + 3pi - 3

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