Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a série
é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também precisamos calcular a soma dela. Aqui, a gente vai usar o conteúdo de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão elevada a uma potência. Vamos precisar separar a série em partes mais simples para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas séries distintas. Isso porque a soma de duas séries convergentes também é convergente, e podemos calcular a soma de cada uma separadamente. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente. Vamos começar com a primeira:
Essa é uma série geométrica onde a razão
. Sabemos que uma s��rie geométrica converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1. Como
é aproximadamente 3,14, temos:
Portanto, essa primeira série é convergente.
Passo 4
Vamos agora para a segunda série:
Aqui, a razão
. Novamente, verificamos o valor absoluto da razão:
Como
, essa segunda série também é convergente.
Passo 5
Como as duas séries separadas são convergentes, podemos concluir que a série original é convergente. Agora, vamos calcular a soma de cada uma delas.
A soma de uma série geométrica que começa em
é dada por:
onde
é a razão da série.
Passo 6
Calculando a soma da primeira série:
Passo 7
Agora, calculando a soma da segunda série:
Passo 8
Finalmente, somamos as duas somas obtidas para encontrar a soma total da série original:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é