Use a definição de limite de uma sequência para mostrar:
lim n infty 5-n2+3 n=-13

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar a definição de limite de uma sequência para mostrar que:
limn infty 5 - n2 + 3n = -13
Para isso, vamos precisar conhecer a definição formal de limite de sequência e aplicar algumas técnicas de simplificação de frações algébricas.

Passo 2

A definição de limite de uma sequência afirma que:
limn infty an = L
significa que para todo |an - L| < epsilon , existe um número natural limn infty 5 - n2 + 3n = -13 tal que para todo | 5 - n2 + 3n + 13 | < epsilon , a seguinte condição é satisfeita:
No nosso caso, queremos mostrar que:
Então, e . Precisamos provar que para todo , existe um tal que para todo :

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
| 5 - n2 + 3n + 13 |
Primeiro, vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
= | 3(5 - n) + (2 + 3n)3(2 + 3n) |
Simplificando o numerador:
= | 15 - 3n + 2 + 3n3(2 + 3n) | = | 173(2 + 3n) |

Passo 4

Agora, temos:
| 173(2 + 3n) | < epsilon
Como 173(2 + 3n) < epsilon para todo 3(2 + 3n) > 17epsilon natural, podemos remover o valor absoluto:
6 + 9n > 17epsilon
Vamos resolver para 9n > 17epsilon - 6 :
n > 17epsilon - 69 = 179epsilon - 23

Passo 5

Para garantir que a desigualdade seja válida, escolhemos N = lceil 179epsilon - 23 rceil como sendo:
| 5 - n2 + 3n + 13 | < epsilon
Onde representa o menor número inteiro maior ou igual ao valor dentro. Assim, para todo , teremos:
Isso confirma que o limite da sequência é de fato .

Resposta

Portanto, utilizando a definição de limite de uma sequência, mostramos que:
limn infty 5 - n2 + 3n = -13

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