Use a definição de limite de uma sequência para mostrar:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar a definição de limite de uma sequência para mostrar que:
Para isso, vamos precisar conhecer a definição formal de limite de sequência e aplicar algumas técnicas de simplificação de frações algébricas.
Passo 2
A definição de limite de uma sequência afirma que:
significa que para todo
, existe um número natural
tal que para todo
, a seguinte condição é satisfeita:
No nosso caso, queremos mostrar que:
Então,
e
. Precisamos provar que para todo
, existe um
tal que para todo
:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Primeiro, vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Agora, temos:
Como
173(2 + 3n) < epsilon para todo
3(2 + 3n) > 17epsilon natural, podemos remover o valor absoluto:
Vamos resolver para
9n > 17epsilon - 6 :
Passo 5
Para garantir que a desigualdade seja válida, escolhemos
N = lceil 179epsilon - 23 rceil como sendo:
Onde
representa o menor número inteiro maior ou igual ao valor dentro. Assim, para todo
, teremos:
Isso confirma que o limite da sequência é de fato
.
Resposta
Portanto, utilizando a definição de limite de uma sequência, mostramos que: