Sabendo que f(x) = -x para -L < x < L e f(x + 2L) = f(x) para x em R, encontre f(x) para:
© n L < x < (n + 1) L, n em Z.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função periódica definida por no intervalo e que se repete a cada . A matéria envolvida aqui é sobre funções periódicas e como estendê-las para todo o conjunto dos números reais. Precisamos descobrir como se comporta no intervalo , onde é um número inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função periódica. Se uma função é periódica com período , isso quer dizer que para todo . No nosso caso, o período é , então .

Passo 3

Agora, queremos encontrar no intervalo . Vamos considerar valores de dentro desse intervalo e ver como a periodicidade afeta a função.

Passo 4

Vamos considerar que está no intervalo . Podemos escrever como , onde . Então, substituindo na função periódica:
Isso porque , e é múltiplo de .

Passo 5

Sabemos que para . Como está dentro desse intervalo, temos:
Portanto,

Passo 6

Simplificando a expressão, ficamos com:

Resposta

Para , a função é dada por:

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