Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Divergência, que é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a verificar se uma série pode divergir.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite do termo geral da série quando
tende ao infinito. Ou seja, vamos encontrar:
Para simplificar, vamos analisar o comportamento da fração dentro do logaritmo conforme
cresce. Observamos que, para grandes valores de
, os termos de maior grau (números com
) vão dominar tanto no numerador quanto no denominador. Então podemos aproximar:
Portanto,
Passo 3
Agora, de acordo com o Teste da Divergência, se o limite do termo geral
não for zero, ou seja, se
a série
necessariamente diverge. No nosso caso, vimos que o limite é
, que é diferente de zero.
Resposta
A série é divergente.