Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty ln (5 n^3+1n^3+n^2+n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar se a série infinita
sumn=1^infty ln (5 n^3+1n^3+n^2+n)
é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Divergência, que é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a verificar se uma série pode divergir.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite do termo geral da série quando limn to infty ln (5 n^3+1n^3+n^2+n) tende ao infinito. Ou seja, vamos encontrar:
5 n^3+1n^3+n^2+n approx 5 n^3n^3 = 5
Para simplificar, vamos analisar o comportamento da fração dentro do logaritmo conforme limn to infty ln (5 n^3+1n^3+n^2+n) = ln(5) cresce. Observamos que, para grandes valores de , os termos de maior grau (números com ) vão dominar tanto no numerador quanto no denominador. Então podemos aproximar:
Portanto,

Passo 3

Agora, de acordo com o Teste da Divergência, se o limite do termo geral limn to infty an neq 0 não for zero, ou seja, se
a série necessariamente diverge. No nosso caso, vimos que o limite é , que é diferente de zero.

Resposta

A série é divergente.

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