Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
{(-1)^n sen(pi/n)}_{n=1}^{infinito}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da sequência. Temos dois componentes principais:
  1. : Esse termo alterna o sinal da sequência. Para valores pares de n, , e para ímpares, . Isso faz com que a sequência oscile entre positivo e negativo conforme n aumenta.
  2. : Aqui, o ângulo dentro do seno diminui conforme cresce, já que n se aproxima de 0 quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Sabemos que, para valores pequenos de n, . Portanto, quando x é muito grande, podemos aproximar:

Passo 4

Agora, substituindo essa aproximação na nossa sequência, temos:
À medida que cresce, n diminui e se aproxima de 0. Embora o termo alterne o sinal, a magnitude do termo está diminuindo para 0.

Passo 5

Para determinar o limite da sequência, observamos que:
Isso ocorre porque, mesmo com a alternância de sinais, o termo domina e tende a 0.

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é .

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