Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da sequência. Temos dois componentes principais:
-
: Esse termo alterna o sinal da sequência. Para valores pares de , , e para ímpares, . Isso faz com que a sequência oscile entre positivo e negativo conforme aumenta. -
: Aqui, o ângulo dentro do seno diminui conforme
cresce, já que se aproxima de 0 quando tende ao infinito.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de quando
tende ao infinito. Sabemos que, para valores pequenos de
, . Portanto, quando
é muito grande, podemos aproximar:
Passo 4
Agora, substituindo essa aproximação na nossa sequência, temos:
À medida que
cresce,
diminui e se aproxima de 0. Embora o termo
alterne o sinal, a magnitude do termo
está diminuindo para 0.
Passo 5
Para determinar o limite da sequência, observamos que:
Isso ocorre porque, mesmo com a alternância de sinais, o termo
domina e tende a 0.
Resposta
A sequência converge, e o seu limite é
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