Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=2^infty 2n^2-1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=2^infty 2n^2-1 e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é séries telescópicas, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para reescrever o termo geral.

Passo 2

Vamos decompor o termo 2n^2-1 em frações parciais. Suponha que exista constantes A e B tais que
2n^2-1=An-1+Bn+1
Colocando no mesmo denominador:
A(n+1)+B(n-1)n^2-1=2n^2-1
Logo, para todo n, deve valer
A(n+1)+B(n-1)=2
Igualando coeficientes de n e termos constantes, obtemos
A+B=0,
A - B=2
Resolvendo, A=1 e B=-1. Portanto:
2n^2-1=1n-1-1n+1

Passo 3

Agora escrevemos a soma parcial SN=sumn=2^Nl(1n-1-1n+1r) e observamos o cancelamento telescópico. Escrevendo alguns termos:
SN=l(1-tfrac13r)+l(tfrac12-tfrac14r)+l(tfrac13-tfrac15r)+cdots+l(tfrac1N-1-tfrac1N+1r)
Cancela-se 1/3,1/4,dots,1/(N-1), sobrando
SN=1+tfrac12-1N-1N+1

Passo 4

Para concluir, calculamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN=1+tfrac12-0-0=tfrac32
Como esse limite existe e é finito, a série converge.

Passo 5

Portanto, a série sumn=2^infty2n^2-1 converge e sua soma é tfrac32.

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac32.

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