Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é séries telescópicas, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para reescrever o termo geral.
Passo 2
Vamos decompor o termo
em frações parciais. Suponha que exista constantes
e
tais que
Colocando no mesmo denominador:
Logo, para todo
, deve valer
Igualando coeficientes de
e termos constantes, obtemos
Resolvendo,
e
. Portanto:
Passo 3
Agora escrevemos a soma parcial
e observamos o cancelamento telescópico. Escrevendo alguns termos:
Cancela-se
, sobrando
Passo 4
Para concluir, calculamos o limite quando
:
Como esse limite existe e é finito, a série converge.
Passo 5
Portanto, a série
converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e sua soma é
.