Determine se a série é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, caso ela convirja, determinar sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer que se trata de uma série telescópica e usar frações parciais para simplificar os termos.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral
em frações parciais. Buscamos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Igualando coeficientes:
logo . Portanto
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Escrevendo alguns termos vemos o cancelamento telescópico:
Passo 4
Para decidir convergência, analisamos o limite de
quando
:
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma é
.