Determine se a série é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 1(2 n-1)(2 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1(2n-1)(2n+1)
e, caso ela convirja, determinar sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer que se trata de uma série telescópica e usar frações parciais para simplificar os termos.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral
em frações parciais. Buscamos constantes
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Igualando coeficientes:
logo . Portanto

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N an = 12sumn=1^Nl(12n-1 - 12n+1r)
Escrevendo alguns termos vemos o cancelamento telescópico:
SN = 12l[(tfrac11 - tfrac13) + (tfrac13 - tfrac15) + cdots + (tfrac12N-1 - tfrac12N+1)r] = 12l(1 - 12N+1r)

Passo 4

Para decidir convergência, analisamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinftySN = limNtoinfty12l(1 - 12N+1r) = 12,(1 - 0) = 12
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é 12.

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