Determine se a série é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 25^n-1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 25^n-1
e, caso ela seja convergente, calcular a sua soma. Isso envolve reconhecer que se trata de uma série geométrica e usar o teste de convergência e a fórmula da soma.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de forma a evidenciar a estrutura geométrica. Note que
25^n-1 = 2 cdot l(15r)^n-1
Assim, identificamos:
  • primeiro termo a1 = 2,
  • razão r = tfrac15.

Passo 3

Para uma série geométrica sum a1,r^,n-1, a convergência ocorre se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui temos
lvert rrvert = llverttfrac15rrvert = tfrac15 < 1,
logo a série converge.

Passo 4

Como a série converge, sua soma é dada por
sumn=1^infty a1,r^,n-1 = a11-r
Substituindo a1=2 e r=tfrac15, vem
sumn=1^infty 25^n-1 = 21 - tfrac15 = 2tfrac45 = 2 cdot 54 = 52

Resposta

A série é convergente e sua soma é 52.

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