Seja u=3(raiz22-i raiz22) uma das quatro raízes complexas de um número z. Determine as quatro raízes complexas de z e, em seguida, represente geometricamente essas raízes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre raízes complexas de um número z . A gente precisa encontrar as quatro raízes complexas de z , sabendo que uma delas é u = 3(raiz22 - i raiz22) . Para isso, vamos usar conceitos de número complexos e raízes de unidades. Pronto para começar? Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma raiz complexa. Quando dizem que u é uma das quatro raízes de z , isso quer dizer que u^4 = z . As raízes de um número complexo são valores que, quando elevados a uma certa potência (nesse caso, 4), resultam no número original z .

Passo 3

Sabendo que temos uma raiz u , as outras três raízes podem ser encontradas multiplicando u pelas quatro raízes da unidade. As raízes da unidade são números complexos que, quando elevados à quarta potência, dão 1. Essas raízes são:
1, i, -1, -i

Passo 4

Agora, vamos multiplicar a raiz conhecida u por cada uma dessas raízes da unidade para encontrar as outras três raízes de z .
  1. Primeira raiz (já conhecida):
u1 = 3(raiz22 - i raiz22)
  1. Segunda raiz:
u2 = u1 times i = 3(raiz22 - i raiz22) times i
Vamos multiplicar:
= 3(raiz22 times i - i raiz22 times i) = 3(raiz22i - i^2 raiz22)
Sabemos que i^2 = -1 :
= 3(raiz22i + raiz22) = 3(raiz22 + i raiz22)
Então:
u2 = 3(raiz22 + i raiz22)
  1. Terceira raiz:
u3 = u1 times (-1) = 3(raiz22 - i raiz22) times (-1)
Multiplicando:
= -3(raiz22 - i raiz22) = 3(-raiz22 + i raiz22)
Então:
u3 = 3(-raiz22 + i raiz22)
  1. Quarta raiz:
u4 = u1 times (-i) = 3(raiz22 - i raiz22) times (-i)
Multiplicando:
= -3(raiz22 times i - i raiz22 times i) = -3(raiz22i - i^2 raiz22)
Lembrando que i^2 = -1 :
= -3(raiz22i + raiz22) = 3(-raiz22 - i raiz22)
Então:
u4 = 3(-raiz22 - i raiz22)

Resposta

As quatro raízes complexas de [z) são:
Geometricamente, essas raízes estão posicionadas nos vértices de um quadrado no plano complexo, todos com módulo 3 e ângulos de , e em relação ao eixo real.

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