Seja uma das quatro raízes complexas de um número . Determine as quatro raízes complexas de e, em seguida, represente geometricamente essas raízes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre raízes complexas de um número . A gente precisa encontrar as quatro raízes complexas de , sabendo que uma delas é . Para isso, vamos usar conceitos de número complexos e raízes de unidades. Pronto para começar? Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma raiz complexa. Quando dizem que é uma das quatro raízes de , isso quer dizer que . As raízes de um número complexo são valores que, quando elevados a uma certa potência (nesse caso, 4), resultam no número original .
Passo 3
Sabendo que temos uma raiz , as outras três raízes podem ser encontradas multiplicando pelas quatro raízes da unidade. As raízes da unidade são números complexos que, quando elevados à quarta potência, dão 1. Essas raízes são:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar a raiz conhecida por cada uma dessas raízes da unidade para encontrar as outras três raízes de .
Primeira raiz (já conhecida):
Segunda raiz:
Vamos multiplicar:
Sabemos que :
Então:
Terceira raiz:
Multiplicando:
Então:
Quarta raiz:
Multiplicando:
Lembrando que :
Então:
Resposta
As quatro raízes complexas de [z) são:
Geometricamente, essas raízes estão posicionadas nos vértices de um quadrado no plano complexo, todos com módulo 3 e ângulos de , e em relação ao eixo real.