Determine se a série é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 32^n

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita pra analisar: sumn=1^+infty (-1)^n+1 32^n. A matéria envolvida aqui é sobre convergência de séries. Vamos verificar se essa série converge ou diverge e, se ela convergir, descobrir qual é a soma dela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque os termos alteram sinal conforme (-1)^n+1 . Para séries alternadas, a gente pode usar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que se os termos bn = 32^n são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n vai para infinito, então a série converge.

Passo 4

Vamos conferir essas condições:
  1. Positivos: bn = 32^n > 0 para todo n .
  2. Decrescentes: À medida que n aumenta, 2^n cresce, então 32^n diminui.
  3. Tendência a zero: limn to infty 32^n = 0.
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. Essa é uma série geométrica com razão r = 12 e primeiro termo a = 32 .
A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r

Passo 6

Substituindo os valores:
S = 321 - 12 = 3212 = 3

Resposta

A série é convergente e sua soma é 3.

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