Determine se a série é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita pra analisar:
. A matéria envolvida aqui é sobre convergência de séries. Vamos verificar se essa série converge ou diverge e, se ela convergir, descobrir qual é a soma dela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque os termos alteram sinal conforme
. Para séries alternadas, a gente pode usar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que se os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero quando
vai para infinito, então a série converge.
Passo 4
Vamos conferir essas condições:
- Positivos:
para todo . - Decrescentes: À medida que
aumenta, cresce, então diminui. - Tendência a zero:
.
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. Essa é uma série geométrica com razão
e primeiro termo
.
A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
Passo 6
Substituindo os valores:
Resposta
A série é convergente e sua soma é 3.