Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor inicialmente descarregado, que está num circuito em série com ohms e farad. Esse circuito é alimentado por uma força eletromotriz (em volt V) dada por
E(t)=l 90, se 2 <= t<10 0, caso contrário á
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito RC em série com resistência R = 50 ohms e capacitância C = 0,01 farad. O capacitor começa sem carga, ou seja, Q(0) = 0 . A fonte de tensão E(t) é de 90V entre t = 2 e t = 10 segundos, e zero antes e depois desse intervalo.
Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática super útil para resolver equações diferenciais que aparecem em circuitos elétricos. Vamos precisar conhecer as propriedades básicas da Transformada de Laplace e como aplicá-la em funções que mudam no tempo, como a nossa E(t) .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação básica para um circuito RC em série. A soma das tensões no resistor e no capacitor deve ser igual à tensão da fonte. Matematicamente, isso fica:
E(t) = VR(t) + VC(t)
Sabemos que a tensão no resistor é VR(t) = R cdot I(t) e a do capacitor é VC(t) = Q(t)C , onde I(t) é a corrente no circuito e Q(t) é a carga no capacitor.
Também sabemos que a corrente I(t) é a derivada da carga em relação ao tempo:
I(t) = dQ(t)dt
Então, substituindo tudo na equação da fonte, temos:
E(t) = R cdot dQ(t)dt + Q(t)C
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para termos tudo relacionado a Q(t) :
R cdot dQ(t)dt + Q(t)C = E(t)
Para resolver essa equação diferencial, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
L dQ(t)dt = sQ(s) - Q(0)
Como Q(0) = 0 , fica:
R cdot (sQ(s)) + Q(s)C = LE(t)
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
(Rs + 1C)Q(s) = LE(t)
Isolando Q(s) :
Q(s) = LE(t)Rs + 1C
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de E(t) . Como E(t) é uma função que liga a 90V entre t = 2 e t = 10 , podemos representá-la usando funções degrau, também conhecidas como funções de Heaviside.
Passo 5
Vamos expressar E(t) em termos da função degrau u(t) :
E(t) = 90 cdot [u(t - 2) - u(t - 10)]
A Transformada de Laplace de u(t - a) é e^-ass . Então, aplicando isso:
Queremos inverter essa Transformada de Laplace para encontrar Q(t) . Para isso, vamos lembrar que:
L^-1 1s(s + a) = 1 - e^-ata
Mas como temos e^-as multiplicando a fração, isso representa um atraso no tempo. Ou seja, usando o teorema da segunda deslocamento (ou teorema de atraso), temos: