Determine se a série é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 43(57)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^+infty43l(57r)^n
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Esse é um problema de séries geométricas, então vamos reconhecer o primeiro termo e a razão, verificar convergência com base em lvert rrvert<1 e usar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

No termo geral 43l(57r)^n a razão é
r = 57
e o primeiro termo da série (quando n=1) é
a1 = 43,57 = 2021
Como llvert57rrvert < 1, concluímos que a série converge.

Passo 3

Para séries geométricas com índice começando em n=1 na forma
sumn=1^inftya,r^n
usa-se
sumn=1^inftya,r^n = a,r1-r
Aqui a=tfrac43 e r=tfrac57, portanto
sumn=1^infty43l(57r)^n = 43cdot571-57 = 202127 = 2021cdot72 = 14042 = 103

Resposta

A série é convergente, e sua soma é 103.

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