Sejam x, y in R. Mostre que:
|x|^2=x^2

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, para qualquer número real x , o quadrado do valor absoluto de x é igual ao quadrado de x em si. Isso envolve conceitos de valor absoluto e propriedades dos números reais. Vamos usar um pouquinho de álgebra pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de [x), escrito como , é simplesmente a distância de até zero na reta numérica, sem considerar se é positivo ou negativo. Ou seja:
Isso garante que (|x|] sempre será um número não negativo.

Passo 3

Agora, vamos calcular |x|^2 . Sabemos que elevar um número ao quadrado significa multiplicá-lo por ele mesmo. Então:
|x|^2 = |x| times |x|
Mas, como |x| é sempre não negativo, não importa se x era positivo ou negativo originalmente.

Passo 4

Vamos considerar os dois casos possíveis para x :
  1. Se x >= 0 :
|x| = x
Então,
|x|^2 = x times x = x^2
  1. Se x < 0 :
|x| = -x
Então,
|x|^2 = (-x) times (-x) = x^2
Porque o negativo multiplicado por negativo dá positivo.

Passo 5

Em ambos os casos, seja x positivo ou negativo, chegamos à conclusão de que:
|x|^2 = x^2
Isso mostra que o quadrado do valor absoluto de x é sempre igual ao quadrado de x .

Resposta

Portanto, para qualquer número real x ,
|x|^2 = x^2

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