Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 1raiz2 n+1

Passo 1

Então, temos que analisar a série sumn=1^+infty 1raiz2n + 1. O que precisamos fazer aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um número finito) ou diverge (soma para infinito). Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries numéricas, como o teste da série p e o teste de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a comparação. Observamos que no denominador temos raiz2n + 1. Podemos reescrever isso como raiz2n multiplicado por raiz1 + 12n:
1raiz2n + 1 = 1raiz2n cdot raiz1 + 12n
Para valores grandes de n, o termo 12n se torna bem pequeno, então raiz1 + 12n approx 1. Assim, temos aproximadamente:
1raiz2n + 1 approx 1raiz2n = 1raiz2 cdot raizn

Passo 3

Agora, comparamos a série original com a série sumn=1^+infty 1raizn. Essa série é conhecida como uma série p, onde p = 12.

Passo 4

Lembrando do teste da série p: a série sumn=1^+infty 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, p = 12, que é menor que 1. Portanto, a série sumn=1^+infty 1raizn diverge.

Passo 5

Como comparamos nossa série original com uma série que sabemos que diverge e vimos que:
1raiz2n + 1 approx 1raiz2 cdot raizn
E já que a constante 1raiz2 não afeta a divergência, concluímos que a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 1raiz2n + 1 diverge.

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