Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Então, temos que analisar a série
. O que precisamos fazer aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um número finito) ou diverge (soma para infinito). Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries numéricas, como o teste da série p e o teste de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a comparação. Observamos que no denominador temos
. Podemos reescrever isso como
multiplicado por
:
Para valores grandes de
, o termo
se torna bem pequeno, então
. Assim, temos aproximadamente:
Passo 3
Agora, comparamos a série original com a série
. Essa série é conhecida como uma série p, onde
.
Passo 4
Lembrando do teste da série p: a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, a série
diverge.
Passo 5
Como comparamos nossa série original com uma série que sabemos que diverge e vimos que:
E já que a constante
não afeta a divergência, concluímos que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.