Determine se a série é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge e, em caso afirmativo, encontrar sua soma. Vamos usar que uma série geométrica
converge para
converge e, em caso afirmativo, encontrar sua soma. Vamos usar que uma série geométrica
converge para
sempre que
.
Passo 2
Podemos separar a soma em duas séries geométricas:
Cada parte é uma série geométrica com razão
ou
, ambas com
, logo cada uma converge.
Passo 3
Calculemos a primeira série:
Multiplicando por
obtemos
.
Passo 4
Calculemos a segunda série:
Multiplicando por
obtemos
.
Passo 5
Subtraindo as duas somas, a série original vale
Resposta
A série converge e sua soma é
.