Determine se a série é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty(32^n-23^n)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftyl(32^n-23^nr)
converge e, em caso afirmativo, encontrar sua soma. Vamos usar que uma série geométrica
sumn=1^infty ar^n
converge para
ar1-r
sempre que |r|<1.

Passo 2

Podemos separar a soma em duas séries geométricas:
sumn=1^inftyl(32^n-23^nr) =3sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n -2sumn=1^inftyl(tfrac13r)^n
Cada parte é uma série geométrica com razão tfrac12 ou tfrac13, ambas com |r|<1, logo cada uma converge.

Passo 3

Calculemos a primeira série:
sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n =tfrac121-tfrac12 =1
Multiplicando por 3 obtemos 3.

Passo 4

Calculemos a segunda série:
sumn=1^inftyl(tfrac13r)^n =tfrac131-tfrac13 =12
Multiplicando por 2 obtemos 1.

Passo 5

Subtraindo as duas somas, a série original vale
3 - 1 = 2

Resposta

A série converge e sua soma é 2.

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