Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral e determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}}
é convergente ou divergente. O conteúdo envolve o Teste da Integral para séries positivas: associamos à série a função
f(x) = \frac{1}{x^{5}}
e verificamos se
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge ou diverge.

Passo 2

Precisamos checar as hipóteses do Teste da Integral:
  1. f(x)=1/x^{5} é positiva para x\ge1.
  2. f(x) é contínua em [1,\infty).
  3. f(x) é decrescente em [1,\infty), pois
f'(x) = -5\,x^{-6} < 0.
Como todas as condições estão satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{5}}\,dx.
Primeiro, achamos a antiderivada:
\int \frac{1}{x^{5}}\,dx = \int x^{-5}\,dx = \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4\,x^{4}}.
Agora avaliamos o limite:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{5}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \Bigl[-\frac{1}{4\,x^{4}}\Bigr]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{4\,b^{4}} + \frac{1}{4\cdot1^{4}}\Bigr) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
Essa integral é finita.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, se
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
é convergente (finita), então a série
\sum_{n=1}^{\infty} f(n)
também é convergente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}} é convergente.

Exercícios relacionados