Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}}
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral e determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo envolve o Teste da Integral para séries positivas: associamos à série a função
e verificamos se
converge ou diverge.
Passo 2
Precisamos checar as hipóteses do Teste da Integral:
-
é positiva para . -
é contínua em . -
é decrescente em , pois
Como todas as condições estão satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Primeiro, achamos a antiderivada:
Agora avaliamos o limite:
Essa integral é finita.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, se
é convergente (finita), então a série
também é convergente.
Resposta
A série
é convergente.