Na pandemia, em uma cidade com 5.300 indivíduos se identificou que a taxa infecção por vírus foi de 23 %. Qual é o número de indivíduos que devem ser examinados a modo de detectar pelo menos 3 indivíduos infetado com o vírus com uma confiança de 97%

Passo 1

O enunciado diz que numa cidade de N=5300 pessoas a proporção de infectados é p=0,23. Queremos escolher um tamanho de amostra n de modo que, com confiança de 97%, a amostra tenha pelo menos 3 infectados. Modelamos isso por uma variável aleatória Xsim Binomial(n,p) que conta o número de infectados na amostra.

Passo 2

A condição “pelo menos 3 infectados com confiança de 97%” significa
P(X>= 3)>= 0,97
Como P(X>= 3)=1 - P(X<= 2), basta garantir
P(X<= 2)<= 0,03

Passo 3

Escrevemos
P(X<= 2) =sumk=0^2binomnkp^k(1-p)^,n-k =binomn0(0,23)^0(0,77)^n +binomn1(0,23)^1(0,77)^n-1 +binomn2(0,23)^2(0,77)^n-2

Passo 4

Testamos valores inteiros de n até achar o menor que satisfaça P(X<=2)<=0,03.
Para n=27 obtemos aproximadamente
P(X<=2)approx0,0348>0,03,
logo ainda não chega a 97%.
Para n=28 calculamos
P(X<=2)approx0,0287<0,03,
atendendo à exigência. Assim, n=28 é o menor valor que garante P(X>=3)>=0,97.

Resposta

O número mínimo de indivíduos a examinar é 28.

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