Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o critério de comparação (p-séries ou comparação por limite).
Passo 2
Observamos o comportamento dos termos para
grande. Como
temos
Ou seja, a nossa série se comporta como a p-série de termo geral
.
Passo 3
Definimos
e aplicamos o critério da comparação por limite:
Como esse limite é finito e estritamente positivo,
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 4
Sabemos que a p-série
converge, pois o expoente
. Logo, pelo critério de comparação por limite, a série original também converge.
Resposta
A série é convergente.