Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftyraiznn^2+1
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o critério de comparação (p-séries ou comparação por limite).

Passo 2

Observamos o comportamento dos termos para n grande. Como
n^2+1sim n^2,
temos
raiznn^2+1sim raiznn^2=n^-3/2
Ou seja, a nossa série se comporta como a p-série de termo geral n^-3/2.

Passo 3

Definimos
an=raiznn^2+1, bn=1n^3/2,
e aplicamos o critério da comparação por limite:
limntoinftyanbn =limntoinftyraizn/(n^2+1)1/n^3/2 =limntoinftyn^1/2,n^3/2n^2+1 =limntoinftyn^2n^2+1=1
Como esse limite é finito e estritamente positivo, an e bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabemos que a p-série
sumn=1^infty1n^3/2
converge, pois o expoente 3/2>1. Logo, pelo critério de comparação por limite, a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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