Encontre as soluções e o intervalo sobre o qual as soluções estão definidas para as seguintes equações

Passo 1

O enunciado pede as soluções da equação
dydx=xraiz1-y^2
e o intervalo máximo em que cada uma está definida. Trata-se de uma EDO separável, pois podemos escrever todos os y de um lado e todos os x do outro.

Passo 2

Separamos variáveis e integramos:
integral 1raiz1-y^2,dy ;=;integral x,dx

Passo 3

Calculemos cada integral. À esquerda reconhecemos a derivada de arcsin(y), e à direita uma potência de x:
integral 1raiz1-y^2,dy = arcsin(y), integral x,dx = x^22
Logo
arcsin(y)=x^22+C,
ou seja
y=sin!l(tfracx^22+Cr)
Além desta família, temos as soluções constantes que fazem raiz1-y^2=0, ou seja
y(x)equiv1 e y(x)equiv-1,
que de fato satisfazem dy/dx=0=xcdot0.

Passo 4

Para a solução não-constante, a fórmula y=sin(tfracx^22+C) vale enquanto o argumento do arcsin original estiver em l(-tfracpi2,tfracpi2r). Ou seja, requeremos
-pi2<x^22+C<pi2
Isto equivale a
x^2<pi-2C,
desde que C<tfracpi2. Portanto o intervalo máximo de x é
-raizpi-2C;<;x;<;raizpi-2C
Já as soluções yequivpm1 não têm restrição e valem para todo xinR.

Resposta

Soluções constantes:
y(x)equiv 1, y(x)equiv -1,
definidas para todo xinR.
Solução geral não-constante:
y(x)=sin!l(tfracx^22+Cr),
definida em
-raizpi-2C;<;x;<;raizpi-2C,
onde C é constante de integração.

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